Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

求這條拋物線的頂點坐標；

已知(點在線段上)，有一動點從點沿線段以每秒個單位長度的速度移動：同時另一個點以某一速度從點沿線段移動，經過的移動，線段被垂直平分，求的值；

在的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點,使的值最小?若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，見解析

【解析】

（1）已知拋物線的2點，代入可直接求解；

（2）根據A、B的坐標，得出AD、AB的長，通過推導可證，利用相似得到的比例線段即可求得DQ、PD的長，從而得出t；

（3）根據軸對稱的最短路徑先作C關于對稱軸的對稱點，即點A，連接AO與對稱軸的交點即為點M．

（1）拋物線與軸交于兩點

解這個方程組，得

拋物線的解析式為

這條拋物線的頂點坐標為

（2）點的坐標為

拋物線與軸交于點

點的坐標為

連接

線段被垂直平分

（3）存在

連接AQ交對稱軸于M，此時MQ+MC為最小，過點Q作QN⊥x軸于點N

∵DQ∥AB，

∴∠QDN=∠BAC

sin∠QDN=sin∠BAC=

∴，

∴QN=

設直線BC的解析式為：y=kx+b

將點B(0，4)和點C(4，0)代入可求得：k=－1，b=4

∴直線BC的解析式為：y=－x+4

當y=時，x=

∴Q(，)

同理可得：AQ的解析式為：y=

當x=時，y=

∴M(，)