Question

【題目】如圖,在邊長為2 的正方形ABCD中,點E是CD邊的中點,延長BC至點F,使CF=CE,連接BE,DF.將△BEC繞點C按順時針方向旋轉.當點E恰好落在DF上的點H處時,連接AG、DG、BG,則AG的長是.

Answer 1

【答案】2
【解析】解：如圖，過C作CK⊥DF于K，過H作HM⊥CF于M，過G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，

∵CD=2 ，CE=CF= ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：DF= ，
∵CK⊥DF，DC⊥CF，
∴∠FCK=∠CDF，
sin∠FCK=sin∠CDF= ，
∴ ，
∴FK=1，
∴CK= ，
由旋轉得：CH=CE=CF，
∵CK⊥FH，
∴HF=2KF，
∴HF=2，
∴S△CHF= CFHM= HFCK，
HM=2×2，
HM= ，
∴CM= ，
∴tan∠HCF= ,
設HM=4x，CM=3x，則CH=5x，
∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，
∴cos∠CGN=cos∠HCF= = ，
∴GN= CG，
∵CG=BC=2 ，
∴GN= ×2 = ，
∴NC= = ，
∴GP=2 - = ，
∴AP=BN=BC-NC=2 - = ，
由勾股定理得：AG= .
所以答案是：2．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．