Question

【題目】如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，交OE于點F．

（1）求證：OD=OC；

（2）若∠AOB=60°，求證：OE=4EF．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用角平分線定理得到ED=EC，再由斜邊為公共邊，利用HL得到直角三角形ODE與直角三角形OCE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）由OE為角平分線，且∠AOB=60°，得到∠DOE=∠EDF=30°，在直角三角形ODE中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OE=2DE，在直角三角形DEF中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到DE=2EF，等量代換即可得證．

證明：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴ED=EC，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），

∴OD=OC；

（2）∵∠AOB=60°，OE平分∠AOB，

∴∠DOE=∠COE=30°，

∴∠DEO=60°，∠EDF=30°，

∵在Rt△ODE中，∠DOE=30°，

∴OE=2DE，

∵在Rt△DEF中，∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．