Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）如果⊙O的半徑為4，CD=4

3

，求∠BAC的度數；
（2）若點E為

ADB

的中點，連接OE，CE．求證：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有多少個？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出CH的長，利用三角形的角邊關系求出角BOC，然后就可求出∠COH．
（2）利用等腰三角形的性質得出∠E=∠OCE，再利用平行線的判定得出OE∥CD即可證明CE平分∠OCD；
（3）首先求得AC所對的兩個弧上，各自到AC的最遠的點，與弦AC之間的距離，根據與3的大小關系即可作出判斷．

解答：（1）解：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB
∴CH=

1

2

CD=2

3

（1分）
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠COH=60° （2分）
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；（3分）

（2）證明：∵點E是

ADB

的中點
∴OE⊥AB （4分）
又∵CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠ECD=∠OEC （5分）
又∵∠OEC=∠OCE
∴∠OCE=∠DCE （6分）
∴CE平分∠OCD；（6分）

（3）解：圓周上到直線AC的距離為3的點有2個． （8分）
因為圓弧

AC

上的點到直線AC的最大距離為2，

ADC

上的點到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據圓的軸
對稱性，

ADC

到直線AC距離為3的點有2個． （10分）

點評：本題綜合考查了圓心角，弧弦的關系，學生在做這一部分題時，一定要把圓的有關知識綜合使用．