Question

【題目】為滿足市場需求，某超市在“圣誕節”來臨前夕，購進一種品牌巧克力，每盒進價是元．超市規定每盒售價不得少于元，根據以往銷售經驗發現；當售價定為每盒元時，每天可以賣出盒，每盒售價提高元，每天要少賣出盒．

（）試求出每天的銷售量（盒）與每盒售價（元）之間的函數關系式．

（）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤（元）最大？最大利潤是多少？

（）為穩定物價，有關管理部門限定：這種巧克力的每盒售價不得高于元．如果超市想要每天獲得不低于元的利潤，那么超市每天至少銷售巧克力多少盒？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P（元）最大，最大利潤是8000元；（3）440．

【解析】試題分析：（1）根據“當售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數關系式；

（2）根據“利潤=1盒巧克力所獲得的利潤×銷售量”列式整理，再根據二次函數的最值問題解答即可；

（3）先由（2）中所求得的P與x的函數關系式，根據“這種巧克力的每盒售價不得高于58元，且每天銷售巧克力的利潤不低于6000元”，求出x的取值范圍，再根據（1）中所求得的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數關系式即可求解．

試題解析：解：（1）由題意得：y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；

（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000．∵x≥45，a=﹣20＜0，∴當x=60時，P最大值=8000元，即當每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P最大，最大利潤是8000元；

（3）由題意得：﹣20（x﹣60）2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．

∵拋物線P=﹣20（x﹣60）2+8000的開口向下，∴當50≤x≤70時，每天銷售巧克力的利潤不低于6000元的利潤．

又∵x≤58，∴50≤x≤58．

∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當x=58時，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少銷售巧克力440盒．