Question

【題目】如圖，內接于半圓，是直徑，過作直線，，是弧的中點，連接交于，過作于，交于．

（）求證：是半圓的切線．

（）作交的延長線于點，連接，試判斷線段與線段的數量關系，并說明理由．

（）若，，試求的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）AE=CH；（3）1．

【解析】試題分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；

（2）連接AD，證明△ADE≌△CDH即可；

（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可證得BE=BH，結合BC和AB的長可求出AE．

試題解析：解：（1）如圖所示．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°．∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，即∠MAB=90°，∴MN是半圓的切線；

（2）AE=CH．理由如下：

連接AD．∵D是弧AC的中點，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD．∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，∠AED=∠DHC，在Rt△ADE和Rt△CDH中，∵AD=CD，DE=DH，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴AE=CH；

（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，在Rt△DBH和Rt△DBE中，∵DH=DE，BD=BD，∴Rt△DBH≌Rt△DBE（HL），∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，∴AE=1．