Question

【題目】已知拋物線過點，，．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點是該拋物線第三象限的任意一點，求四邊形的最大面積；

（3）若點在軸上，點為該拋物線的頂點，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）(0,)或(0,-)

【解析】

（1）把，，代入解析式，解方程組求出a、b、c，即可求出函數解析式；

（2）如圖1，過點H作HM⊥AB于M，設點H的坐標為：,根據S四邊形OCHA=S△AHM+S梯形OCHM=代入整理，得出S四邊形OCHA=,再求出二次函數的最大值即可；

（3）假設對稱軸與x軸交于N點，根據已知條件可知，NG=NA，以N為圓心NG為半徑作圓，與y軸的交點就是Q，再求出它的坐標，然后證明符合條件Q有且只有這兩點，即可得出答案．

解：（1）∵拋物線過點，，

∴

解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖1，過點H作HM⊥AB于M，
設點H的坐標為：（m，），
則HM＝，OM＝-m，
∵點C的坐標為（0，-3），點A的坐標為（-6，0），

∴OA＝6，OC3，
∴AM＝m +6，
∴S四邊形OCHA
＝S△AMH＋S梯形OMHC
＝

=

=

=

∵

∴當m=-3時，S四邊形OCHA有最大值
故答案為：S四邊形OCHA有最大值，最大面積是；

（3）如圖2， ∵，

∴頂點坐標為(-2,-4)，對稱軸與x軸交于點N，

∴AN=

∴NG=AN=4

以N為圓心NG為半徑作圓，經過點A、B，與y軸交于點Q1、Q2，連接Q1G、Q1A、Q1N，

∵∠ANG=90°且同弧所對的圓周角等于圓心角的一半

∴∠AQ1G=∠ANG=45°

在Rt△ONQ1中，ON=2，Q1N=4

∴OQ1=

∴Q1 (0,)

由于點Q1、Q2關于 x軸對稱，則Q2(0,-)

假設在線段Q1Q2之間有點Q，如圖，延長AQ交⊙N于點P，

∴∠APG=∠AQ1G=45°

而∠AQG＞∠APG

∴∠AQG＞45°

∴Q點不在線段Q1Q2之間；

若Q在線段Q1Q2之外時，同理可得∠AQG＜45°

∴點Q不在線段Q1Q2之外；

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為：(0,)或(0,-)