Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點，其中點A坐標為(﹣3，0)，與y軸交于點C(0，3)．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點M為拋物線y＝﹣x2+bx+c上異于點C的一個點，且S△OMC＝S△ABC，求點M的坐標；

（3）若點P為x軸上方拋物線上任意一點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線AP、BP分別交拋物線的對稱軸于點E、F．請問DE+DF是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）(2，﹣5)或(﹣2，3)；（3）是定值，8

【解析】

（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）S△ABC＝××AB×OC＝×4×3＝3，而S△OMC＝×OC×||＝||＝3，即可求解；

（3）求出直線AP、BP的函數表達式，即可求解．

解：（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式得，解得，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則x＝﹣3或1，

故點B（1，0），

∴S△ABC＝××AB×OC＝×4×3＝3，

∵S△OMC＝×OC×||＝||＝3，解得：＝±2，

故點M的坐標為（2，﹣5）或（﹣2，3）；

（3）是定值，理由：

設點P的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），

設直線AP的表達式為：y＝kx+t，則，解得，

故直線AP的表達式為：y＝﹣（m﹣1）（x+3），

當x＝＝﹣1時，y＝2﹣2m，即點E（﹣1，2﹣2m），即DE＝2﹣2m，

同理可得，直線BP的表達式為：y＝﹣（m+3）（x﹣1），

當x＝﹣1時，y＝2m+6，故點F（﹣1，2m+6），即DF＝2m+6，

∴DE+DF＝2﹣2m+2m+6＝8，為定值．