Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,點O是AB中點，點P、Q分別從點A、C出發，沿AC、CB以每秒1個單位的速度運動，到達點C、B后停止。連結PQ、點D是PQ中點，連結CD并延長交AB于點E.

（1）試說明：△POQ是等腰直角三角形；
（2）設點P、Q運動的時間為t秒，試用含t的代數式來表示△CPQ的面積S，并求出
S的最大值；
（3）如圖2，點P在運動過程中，連結EP、EQ，問四邊形PEQC是什么四邊形，并說明理由；
（4）求點D運動的路徑長（直接寫出結果）.

Answer 1

角度轉換；2；矩形；

試題分析：(1)、證明：連接CO，則：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB
在△AOP和△COQ中
AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"           
∴△AOP≌△COQ   (SAS)
∴OP="OQ"    ∴∠AOP=∠COQ　
∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     
∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）
(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2
當t=2時，S取得最大值，最大值S="2" （3分）
(3)、四邊形PEQC是矩形
證明：連接OD
∵點D是PQ中點
∴CD=PD=DQ=PQ
OD=PD=DQ=PQ
∴CD="OD"
∴∠DCO=∠DOC
∵∠CEO+∠DCO=90°
∠DOE+∠DOC=90°
∴∠CEO=∠DOE
∴DE=DO
∴DE=CD
∵PD=DQ
∴四邊形PEQC是平行四邊形
又∠ACB=90° ∴四邊形PEQC是矩形（3分）
(4)、由DO=DC可知：點D在線段OC的垂直平分線上，其運動路徑為CO垂直平分線與AC、BC交點間線段
點D運動的路徑長=AB=（3分）
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．