Question

閱讀下列材料：
問題：如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數．
小明同學的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連接PP′．
請你參考小明同學的思路，解決下列問題：
（1）圖2中∠BPC的度數為______；
（2）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=4，PC=2，則∠BPC的度數為______，正六邊形ABCDEF的邊長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質得到∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
（2）把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，根據旋轉的性質得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到BH=BP′=2，P′H=BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；過A作AG⊥BP′于G點，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到GP′=AP′=1，AG=GP′=，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可計算出AB長．
解答：解：（1）如圖2．
∵△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP=，PP′=2，AP′=1，
∵（）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如圖3．
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC繞點B逆時針旋轉120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
過B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，
∴P′P=2P′H=4，
在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，
∵（2）²=（4）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°，
過A作AG⊥BP′于G點，
∴∠AP′G=60°，
在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，
∴GP′=AP′=1，AG=GP′=，
在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，
AB===2，
即正六邊形ABCDEF的邊長為2．
故答案為135°；120°，．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關系．