Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點，取EF中點G，連接DG并延長交AB于點M，延長EF交AC于點N。

（1）求證：∠FAB和∠B互余；

（2）若N為AC的中點，DE=2BE，MB=3，求AM的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AM=7

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一可證得AD⊥BC，根據直角三角形兩銳角互余可證得結論；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE即可得∠GDE=∠GED，證明△DBM∽△ECN，根據相似三角形的性質即可求得NC，繼而可求AM.

解：（1） ∵AB=AC，AD為∠BAC的角平分線，

∴AD⊥BC，

∴∠FAB+∠B=90°.

（2）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴BD=CD，
∵DE=2BE，
∴BD=CD=3BE，
∴CE=CD+DE=5BE，
∵∠EDF=90°，點G是EF的中點，
∴DG=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，

∴△DBM∽△ECN，

∵MB=3，
∴NC=5，
∵N為AC的中點，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10,

∴AM=AB-MB=7.