Question

【題目】如圖，在中，,垂足為，為直線上一動點(不與點重合)，在的右側作，使得,連接．

（1）求證：；

（2）當在線段上時

① 求證：≌；

② 若, 則；

（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析；（3）20°或40°或100°．

【解析】

（1）證明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解決問題．

（2）①根據SAS即可證明；

②D運動到BC中點（H點）時，AC⊥DE；利用等腰三角形的三線合一即可證明；

（3）分三種情形分別求解即可解決問題；

（1）∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠AHB=∠AHC=90°，

在Rt△AHB和Rt△ACH中，

，

∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），

∴∠ABC=∠ACB．

（2）①如圖1中，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE．

②D運動到BC中點（H點）時，AC⊥DE；

理由：如圖2中，∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAH=∠CAH，

∵∠BAH=∠CAE，

∴∠CAH=∠CAE，

∵AH=AE，

∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度數為20°或40°或100°．

理由：①如圖3中，當點D在CB的延長線上時，

∵CE∥AB，

∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，

∵△DAB≌△EAC，

∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，

∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，

∴△ABC是等邊三角形，

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．

②當點D在線段BC上時，最小角只能是∠DAB=20°，此時∠ADB=180°-20°-60°=100°．

③當點D在BC 延長線上時，最小角只能是∠ADB=20°，

綜上所述，滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°．