Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．

（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當△ABC滿足條件時，四邊形DAEF是矩形；
②當△ABC滿足條件時，四邊形DAEF是菱形；
③當△ABC滿足條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，

BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，

∴∠DBA﹣∠FBA=∠FBC﹣∠FBA，

∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC和△DBF中，

∴△ABC≌△DBF．

∴AC=DF=AE．

同理△ABC≌△EFC．

∴AB=EF=AD．

∴四邊形ADFE是平行四邊形．

（2）∠BAC=150°,AB=AC≠BC,∠BAC=60°
【解析】解：（2）當∠BAC=150°，∠DAE=360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°，

∴平行四邊形DAEF是矩形．

當AB=AC≠BC，有AD=AE，

∴平行四邊形DAEF是菱形．

當∠BAC=60°，D、A、E、F四點共線，四邊形不存在．

【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和平行四邊形的判定的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能正確解答此題．