Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P（t，0）為線段AB上一動點（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得：

，解得： ，

則拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：如圖1，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結AM1，則△AM1C是等腰三角形，

∵AC= = ，

∴CN= ，

∵△CNM1∽△COA，

∴ = ，

∴ = ，

∴CM1= ，

∴OM1=OC﹣CM1=3﹣ = ，

∴M1的坐標是（0， ），

當CA=CM2= 時，則△AM2C是等腰三角形，

則OM2=3+ ，

M2的坐標是（0，3+ ），

當CA=AM3= 時，則△AM3C是等腰三角形，

則OM3=3，

M3的坐標是（0，﹣3），

當CA=CM4= 時，則△AM4C是等腰三角形，

則OM4= ﹣3，

M4的坐標是（0，3﹣ ），

（3）

解：如圖2，當點P在y軸或y軸右側時，

設直線與BC交于點D，

∵OB=4，OC=3，

∴S△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t，

∴ = ，

∵△BPD∽△BOC，

∴ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S=S△BPD= t2﹣3t+6（0≤t＜4）；

當點P在y軸左側時，

設直線與AC交與點E，

∵OP=﹣t，AP=t+2，

∴ = ，

∵ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S△APE= ，

∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ =﹣ t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．

【解析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結AM1 ， 則△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐標，當CA=CM2時，則△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐標，當CA=AM3時，則△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐標，當CA=CM4時，則△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐標，（3）當點P在y軸或y軸右側時，設直線與BC交與點D，先求出S△BOC ， 再根據△BPD∽△BOC，得出 =（ ）2 ， =（ ）2 ， 求出S=S△BPD；當點P在y軸左側時，設直線與AC交與點E，根據 =（ ）2 ， 得出 =（ ）2 ， 求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ ，再整理即可．