Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG．

（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2 ，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形

（2）

解：作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2 ，

∴EM= BE= ，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN= ，MN=DE=2 ，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC= ，

∴MC=3 ，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM= ．MC=3 ，

∴EC= = =10 ．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值為10

【解析】（1）結論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問題．本題考查平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、角平分線的性質、垂直平分線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用對稱找到點H的位置，屬于中考常考題型．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用角平分線的性質定理和平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．