Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3，），∠AOC=60°，動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P，Q運動的時間為t（秒）．

（1）求點C的坐標及梯形ABCO的面積；
（2）當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）以O，P，Q為頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）   （2）（）  （3）當t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形

試題分析：（1）作CM⊥OA于點M,知CM,由∠AOC=60°易求BM=1，求出C點坐標；由B點坐標可求BC的長，從而梯形面積可求；
（2）用含有t的代數式分別表示△OPQ的高和底，求出△OPQ的的面積即可表示出S與運動時間t的函數關系式；
（3）分點Q分別在邊BC、OC、OA上運動時進行討論，即可求出t的值.
試題解析:（1）作CM⊥OA于點M,
∵∠AOC=60°，∴∠OCM=30°，
∵B（3，），BC∥AO，∴CM,
設OM=，則OC=，∴
解得，∴OM=1，OC=2，
∴C（1，），
∵B（3，），∴BC=2，
∵A（6，0），∴OA=6，
∴,
(2)如圖1，當動點Q運動到OC邊時，OQ=，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，

∴，∴，
又∵OP=2t，
∴
（）；
（3）根據題意得出：，
當時，Q在BC邊上運動，延長BC交y軸于點D，
此時OP=2t，，，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則∠PQD=90°，

∴四邊形PQDO為矩形，
∴OP=QD，∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如圖3，則OQ²+PQ²=PO²，

即，
解得：t₁=t₂=2，
當時，Q在OC邊上運動，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，∴∠OPQ=30°，
∴，
若∠OPQ=90°,同理：,
而此時OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴，,
故當Q在OC邊上運動時，△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形。
考點: 1.二次函數；2.直角三角形的判定.