Question

直線y=k₁x+b與雙曲線只有一個交點A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B、C兩點，AD垂直平分OB，垂足為D．求：
（1）直線、雙曲線的解析式．
（2）線段BC的長．

Answer 1

解：（1）∵A（1，2）在雙曲線上，
∴，
∴k₂=2，
∴雙曲線的解析式為：；
∵AD垂直平分OB，
∴OB=2OD，D（1，0），
∴OD=1，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∴，
解得：，
∴一次函數的解析式為：y=-2x+4；

（2）∵y=-2x+4，
∴x=0時，y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC==2．
分析：（1）先把點A（1，2）代入雙曲線的解析式求出k2的值就可以求出雙曲線的解析式，由AD垂直平分OB，可知D（1，0），就可以求出OD=1，求得OB=2，就可以求出B點的坐標，從而求出直線的解析式；
（2）根據（1）的解析式，求出 點C的坐標，求出OC的值，再根據勾股定理就可以求出BC的值．
點評：本題考查了待定系數法求雙曲線的解析式，一次函數的解析式的運用，勾股定理的運用，解答時求出一次函數的解析式是關鍵．