Question

【題目】已知，直線AB∥CD.

(1)如圖1，若點E是AB、CD之間的一點，連接BE.DE得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D.

(2)若直線MN分別與AB、CD交于點E.F．

①如圖2，∠BEF和∠EFD的平分線交于點G．猜想∠G的度數，并證明你的猜想；

②如圖3，EG1和EG2為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G1和G2．求證：∠FG1E+∠G2＝180°．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①∠EGF＝90°，證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）過點E作EF∥AB，則有∠BEF=∠B根據平行線的性質即可得到結論；
（2）①由（1）中的結論得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根據EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到結論；
②過點G1作G1H∥AB，由結論可得∠G2=∠1+∠3，由平行線的性質得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD，求得∠EFG2=∠G2FD=∠3，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠EFG2，由三角形外角的性質得到∠EG1G2＝∠2+∠EFG2=∠G2，然后根據平角的性質即可得到結論．

（1）證明：如圖1過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D；

（2）①如圖2所示，猜想：∠EGF＝90°.

證明：由(1)中的結論得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∵EG.FG分別平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，

∴∠BEG+∠GFD＝90°，

∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF＝90°；

②證明：如圖3，過點G1作G1H∥AB

∵AB∥CD

∴G1H∥CD

∴∠3＝∠G2FD

由（1）結論可得∠G2＝∠1+∠3

∵FG2平分∠EFD

∴∠EFG2＝∠G2FD=∠3

∵∠1＝∠2

∴∠G2＝∠2+∠EFG2

∵∠EG1G2＝∠2+∠EFG2

∴∠G2＝∠EG1G2

∵∠FG1E+∠EG1G2＝180°

∴∠FG1E+∠G2＝180°．