Question

【題目】如圖1．在△ABC中，∠ACB＝90°，點P為△ABC內一點．

（1）連接PB、PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B、C、P的對應點分別為點D、A、E，連接CE．

①依題意，請在圖2中補全圖形；

②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝，求AB的長．

（2）如圖3，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當AC＝4，AB＝8時，根據此圖求PA＋PB＋PC的最小值．

Answer 1

【答案】⑴①見解析，②AB＝6；⑵4.

【解析】（1）①根據題意補全圖形即可；

②連接BD、CD．根據平移的性質和∠ACB＝90°，得到四邊形BCAD是矩形，從而有CD＝AB，設CD＝AB＝，則PB＝DE＝， 由勾股定理求解即可；

（2）當C、P、M、N四點共線時，PA＋PB＋PC最小．由旋轉的性質和勾股定理求解即可．

（1）①補全圖形如圖所示；

②如圖：連接BD、CD．

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC＝AD，PB＝DE．

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形BCAD是矩形，∴CD＝AB，設CD＝AB＝，則PB＝，

DE＝BP＝，

∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴，∴，

∴，即AB＝6；

（2）如圖，當C、P、M、N四點共線時，PA＋PB＋PC最小．

由旋轉可得：△AMN≌△APB，∴PB＝MN．

易得△APM、△ABN都是等邊三角形，∴PA＝PM，

∴PA＋PB＋PC＝PM＋MN＋PC＝CN，

∴BN＝AB＝8，∠BNA＝60°，∠PAM＝60°，

∴∠CAN＝∠CAB＋∠BAN＝60°＋60°＝120°，

∴∠CBN＝90°．

在Rt△ABC中，易得：，

∴在Rt△BCN中，．