Question

（1）如圖（1）兩個圓中，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B，過B點的直線交兩圓于C、D，已知⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為6和8，求證：AD：AC的比值為定值；
（2）如圖（2），D為線段AB延長線上的一點，△ABC與△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長，△ABC的外接圓⊙O交CF于M，請解答下列問題：
①求證：BE切⊙O于B；
②若CM=2，MF=6，求⊙O的半徑；
③過D作DG∥BE交EF于G，過G作GH∥DE交DF于H，設△ABC、△BDE、△DHG的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的關系．

Answer 1

分析：（1）先過點A作⊙O₁的直徑AE，連接EB并延長交⊙O₂于點F；連接AF、CF、DE，證明△CAE∽△DAF，得出比例關系式即可；
（2）①連接OB，只要證明∠OBE=90°即可求解；
②連接MB，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據相似三角形對應邊的比相等即可得證；
③由題意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據平行線分線段成比例定理即可得證．

解答：（1）證明：過點A作⊙O₁的直徑AE，連接EB并延長交⊙O₂于點F，
連接AF、CF、DE，
由（1）可知：AF是⊙O₂的直徑，∠ABE=∠ABF=90°，
∵∠CAE=∠CBE，∠DAF=∠DBF，
又∵∠CBE=∠DBF，
∴∠CAE=∠DAF．
∴△CAE∽△DAF．
∴

AC

AD

=

AE

AF

=

12

16

=

3

4

．
∴AC與AD的比值是定值

3

4

．

（2）①證明：連接OB，由題意得，
∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°∠CBE=60°
則∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切線；

②解：連接MB，過點O作ON⊥AB于點N，
則∠CMB=120°
∵∠CBF=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCF=∠BCM
∴△CMB∽△CBF
∴

CM

CB

=

CB

CF

，
即CB²=CM•CF
∵AC=CB=AB，CM=2，MF=6，
∴CB²=16，
AB=AC=BC=4，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON=

1

2

BO，
∴cos30°=

BN

BO

=

2

BO

=

3

2

，
解得：BO=

4 3

3

，
即⊙O的半徑為：

4 3

3

；

③解：由題意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

即S₂²=S₁•S₃
∴所求的數量關系是S₂²=S₁•S₃．

點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的性質，熟悉直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦為直徑的知識，注意要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．