Question

【題目】某科技有限公司用160萬元作為新產品的研發費用，成功研制出了一種市場急需的電子產品，已于當年投入生產并進行銷售．已知生產這種電子產品的成本為4元/件，在銷售過程中發現：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數圖象的一部分，設公司銷售這種電子產品的年利潤為s（萬元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤，若上一年虧損，則虧損記作下一年的成本）

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）的函數表達式；

（2）求出第一年這種電子產品的年利潤s（萬元）與x（元/件）的函數表達式，并求出第一年年利潤的最大值；

（3）假設公司的這種電子產品第一年恰好按年利潤s（萬元）取得最大值時進行銷售，現根據第一年的盈虧情況，決定第二年這種電子產品每件的銷售價格x（元/件）定在8元以上（x＞8），當第二年的年利潤不低于103萬元時，請結合年利潤s（萬元）與銷售價格x（元/件）的函數示意圖，求銷售價格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）s＝﹣（x﹣16）2﹣16，當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為﹣16萬元；（3）11≤x≤21

【解析】

（1）依據待定系數法，即可求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；
（2）分兩種情況進行討論，當x=8時，smax=-80；當x=16時，smax=-16；根據-16＞-80，可得當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為-16萬元．
（3）根據第二年的年利潤s=（x-4）（-x+28）-16=-x2+32x-128，令s=103，可得方程103=-x2+32x-128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐標系中，畫出s與x的函數圖象，根據圖象即可得出銷售價格x（元/件）的取值范圍．

解：（1）當4≤x≤8時，設y＝，將A（4，40）代入得k＝4×40＝160，

∴y與x之間的函數關系式為y＝；

當8＜x≤28時，設y＝k'x+b，將B（8，20），C（28，0）代入得，

，解得，

∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+28，

綜上所述，y＝；

（2）當4≤x≤8時，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）﹣160＝﹣，

∵當4≤x≤8時，s隨著x的增大而增大，

∴當x＝8時，smax＝﹣＝﹣80；

當8＜x≤28時，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣160＝﹣（x﹣16）2﹣16，

∴當x＝16時，smax＝﹣16；

∵﹣16＞﹣80，

∴當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為﹣16萬元．

（3）∵第一年的年利潤為﹣16萬元，

∴16萬元應作為第二年的成本，

又∵x＞8，

∴第二年的年利潤s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，

令s＝103，則103＝﹣x2+32x﹣128，

解得x1＝11，x2＝21，

在平面直角坐標系中，畫出s與x的函數示意圖可得：

觀察示意圖可知，當s≥103時，11≤x≤21，

∴當11≤x≤21時，第二年的年利潤s不低于103萬元．