Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2＋bx＋c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩根為-8、2

(1) 求二次函數的解析式

(2) 直線l繞點A以AB為起始位置順時針旋轉到AC位置停止，l與線段BC交于點D，P是AD的中點

① 求點P的運動路程

② 如圖2，過點D作DE垂直x軸于點E，作DF⊥AC所在直線于點F，連結PE、PF，在l運動過程中，∠EPF的大小是否改變？請說明理由

(3) 在(2)的條件下，連結EF，求△PEF周長的最小值

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-6；（2）①；②∠EPF的大小不會改變；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用tan∠ABC=3，得出C但坐標，再利用待定系數法求出二次函數解析式；

（2）①當l在AB位置時，P即為AB的中點H，當l運動到AC位置時，P即為AC中點K，則P的運動路程為△ABC的中位線HK，再利用勾股定理得出答案；

②首先利用等腰三角形的性質得出∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，進而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；

（3）首先得出C△PEF=AD+EF，進而得出EG=PE，EF=PE=AD，利用C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，得出最小值即可．

試題解析：（1）∵函數y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，且一元二次方程ax2+bx+c=0兩根為：-8，2，

∴A（-8，0）、B（2，0），即OB=2，

又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，-6），

將A（-8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx-6中，得：

，解得：，

∴二次函數的解析式為：y=x2+x-6；

（2）①如圖1，

當l在AB位置時，P即為AB的中點H，

當l運動到AC位置時，P即為AC中點K，

∴P的運動路程為△ABC的中位線HK，

∴HK=BC，

在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，

∴BC=2，∴HK=，

即P的運動路程為：；

②∠EPF的大小不會改變，

理由如下：如圖2，

∵DE⊥AB，

∴在Rt△AED中，P為斜邊AD的中點，

∴PE=AD=PA，

∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，

同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，

∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），

即∠EPF=2∠EAF，

又∵∠EAF大小不變，

∴∠EPF的大小不會改變；

（3）設△PEF的周長為C，則C△PEF=PE+PF+EF，

∵PE=AD，PF=AD，

∴C△PEF=AD+EF，

在等腰三角形PEF中，如圖2，過點P作PG⊥EF于點G，

∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，

∵tan∠BAC=，

∴tan∠EPG=，

∴EG=PE，EF=PE=AD，

∴C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，

又當AD⊥BC時，AD最小，此時C△PEF最小，

又S△ABC=30，

∴BC×AD=30，

∴AD=3，

∴C△PEF最小值為：AD=．