Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點是軸上兩點，其中，點都在軸上，在射線上（不與點重合），，連結．

（1）求、的坐標；

（2）如圖，若在軸正半軸，在線段上，當時，求證：為等邊三角形；（提示：連結）

（3）當時，在圖中畫出示意圖，設，若，求的值．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣4，0），B（4，0）；(2)見解析;(3) 10或6

【解析】

（1）由a2+2ab+b2+|b-4|=0，得出（a+b）2+|b-4|=0，再根據非負數的性質，得出a=-4，b=4，即可得到A（-4，0），B（4，0）；
（2）連接AD并延長至F，根據等腰三角形的性質以及三角形外角性質，即可得出∠BDF=∠DAO+∠DBO=2∠DAO，∠EDF=2∠DAE，進而得到∠EDB=60°，再根據DE=DB，即可得出△BDE為等邊三角形；
（3）分兩種情況進行討論：①當C在y軸正半軸時，②當C在y軸負半軸時，分別判定全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等，分別求得n-m=4，m+n=-4，再根據mn=2，求得的值即可．

解：（1）∵a2+2ab+b2+|b﹣4|=0，∴（a+b）2+|b﹣4|=0，

又∵（a+b）2≥0，|b﹣4|≥0，∴（a+b）2=0，|b﹣4|=0，

∴a=﹣4，b=4，∴A（﹣4，0），B（4，0）；

（2）證明：如圖a，連接AD并延長至F，

∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA=OB，∵OD⊥AB，∴DA=DB，

∴∠DAO=∠DBO，∴∠BDF=∠DAO+∠DBO=2∠DAO，∵DA=DB，DE=DB，

∴DA=DE，同理可得∠EDF=2∠DAE，

∴∠BDF+∠EDF=2∠DAE+2∠DAO=2∠CAO=60°，即∠EDB=60°，

又∵DE=DB，∴△BDE為等邊三角形；

（3）分兩種情況：

①當C在y軸正半軸時，如圖b所示，過點E作EG⊥y軸于點G，

則∠GED+∠GDE=90°，∵DE⊥DB，∴∠ODB+∠GDE=90°，∴∠GED=∠ODB，

又∵∠DGE=∠DOB=90°，DE=DB，

∴在△DGE和△BOD中，

，

∴△DGE≌△BOD（AAS）

∴OD=EG，DG=OB=4，

∵E（m，n），

∴OD=EG=m，OG=n，

由OG﹣OD=DG，得n﹣m=4，

∵mn=2，

∴=10；

②當C在y軸負半軸時，如圖c所示，過點E作EG⊥y軸于點G，

同理可得，△DGE≌△BOD，

∴OD=EG，DG=OB=4，

∵E（m，n），

∴OD=EG=﹣m，OG=﹣n，

由OD+OG=DG，得﹣m+（﹣n）=4，則m+n=﹣4，

∵mn=2，

∴=6，

綜上所述，的值為10或6．