Question

一個多面體的面數（a）和這個多面體表面展開后得到的平面圖形的頂點數（b），棱數（c）之間存在一定規律，如圖1是正三棱柱的表面展開圖，它原有5個面，展開后有10個頂點（重合的頂點只算一個），14條棱．

【探索發現】
（1）請在圖2中用實線畫出立方體的一種表面展開圖；
（2）請根據圖2你所畫的圖和圖3的四棱錐表面展開圖填寫下表：

多面體	面數a	展開圖的頂點數b	展開圖的棱數c
直三棱柱	5	10	14
四棱錐	5	8	12
立方體	6	14	19

（3）發現：多面體的面數（a）、表面展開圖的頂點數（b）、棱數（c）之間存在的關系式是

a+b-c=1

；
【解決問題】
（4）已知一個多面體表面展開圖有17條棱，且展開圖的頂點數比原多面體的面數多2，則這個多面體的面數是多少？

Answer 1

分析：（1）利用立方體側面展開圖的特點得出即可；
（2）利用圖形特點分別得出面數、頂點數、棱數即可；
（3）結合（2）中數據即可得出a，b，c之間的關系；
（4）利用已知得出方程組求出即可．

解答：解：（1）如圖所示：


（2）如圖表：

多面體	面數a	展開圖的頂點數b	展開圖的棱數c
直三棱柱	5	10	14
四棱錐	5	8	12
立方體	6	14	19

（3）由圖表中數據可得出：a+b-c=1．
故答案為：a+b-c=1．

（4）由題意可得出：

b-a=2 a+b-17=1

，
解得：

a=8 b=10

．
答：這個多面體的面數是八面體．

點評：此題考查了幾何體的展開圖，利用圖形中數據變化規律是解題關鍵．