Question

【題目】已知：如圖1，直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，點B的橫坐標為2．
（1）求A、C兩點的坐標和拋物線的函數關系式；
（2）點D是直線AC上方拋物線上任意一點，P為線段AC上一點，且S△PCD=2S△PAD ， 求點P的坐標；
（3）如圖2，另有一條直線y=﹣x與直線AC交于點M，N為線段OA上一點，∠AMN=∠AOM．點Q為x軸負半軸上一點，且點Q到直線MN和直線MO的距離相等，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y= x+6中，

令x=0，則y=6；令y=0，則x=﹣8，

∴A（﹣8，0），C（0，6），

∵點B的橫坐標為2，

∴B（2，0），

設拋物線解析式為y=a（x+8）（x﹣2），則

把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），

即

（2）解：如圖所示，過P作PH⊥AO于H，

∵S△PCD=2S△PAD，

∴AP：PC=1：2，

∵PH∥CO，

∴AH：HO=1：2，

即OH= AO，

又∵AO=8，

∴OH=8× = ，

∴點P的橫坐標為 ，

在直線y= x+6中，當x= 時，y= ×（ ）+6=2，

∴點P的縱坐標為2，

∴點P的坐標為（ ，2）

（3）解：分兩種情況：

①當點Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點時，點Q1到直線MN和直線MO的距離相等，

∵直線y=﹣x與直線y= x+6交于點M，

∴M（﹣ ， ），

又∵A（﹣8，0），

∴由兩點間距離公式可得AM= = ，

∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，

∴△AMN∽△AOM，

∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，

∴AN= ，

∴ON=AO﹣AN= ，

即N（﹣ ，0），

∴由兩點間距離公式可得MN= ，MO= ，

∵MQ1平分∠NMO，

∴ = = ，

∴OQ1= NO= = ，

即點Q1的坐標為（ ，0）；

②當點Q2為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時，點Q2到直線MN和直線MO的距離相等，

根據Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得

直線MQ1解析式為y=﹣3x﹣ ，

∵MQ1⊥MQ2，

∴可設直線MQ2解析式為y= x+b，

把M（﹣ ， ）代入，可得b= ，

∴直線MQ2解析式為y= x+ ，

∴當y=0時，0= x+ ，

解得x=﹣ ，

即點Q2的坐標為（ ，0）．

綜上所述，點Q的坐標為（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）根據直線y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），設拋物線解析式為y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得拋物線的函數關系式；（2）過P作PH⊥AO于H，根據S△PCD=2S△PAD ， 可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，進而得到OH= AO=8× = ，在直線y= x+6中，當x= 時，y= ×（ ）+6=2，可得點P的坐標為（ ，2）；（3）分兩種情況進行討論：①當點Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點時，點Q1到直線MN和直線MO的距離相等；②當點Q2為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時，點Q2到直線MN和直線MO的距離相等，根據相似三角形的性質求得N（﹣ ，0），再根據角平分線的性質可得點Q1的坐標為（ ，0）；最后根據MQ1⊥MQ2 ， 可得直線MQ2解析式為y= x+ ，進而得到點Q2的坐標為（ ，0）．
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質定理和相似三角形的判定與性質，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．