Question

【題目】如圖，從A地到B地的公路需經過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直的公路AB的長；
（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

【答案】
（1）解：作CH⊥AB于H．

在Rt△ACH中，CH=ACsin∠CAB=ACsin25°≈10×0.42=4.2（千米），

AH=ACcos∠CAB=ACcos25°≈10×0.91=9.1（千米），

在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），

∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．

故改直的公路AB的長14.7千米

（2）解：在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），

則AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．

答：公路改直后比原來縮短了2.3千米．

【解析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據三角函數求得CH，AH，在Rt△BCH中，根據三角函數求得BH，再根據AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根據三角函數求得BC，再根據AC+BC﹣AB列式計算即可求解．