Question

（1）如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于點E．水位正常時測得OE：CD=5：24，求CD的長；

（2）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）由OE：CD=5：24，可設OE=5xm，CD=24xm，由OE⊥CD，利用垂徑定理可求得DE=12xm，然后由勾股定理，可得方程：13²=（5x）²+（12x）²，解此方程即可求得答案；
（2）首先連接OD，易得OD是△ABC的中位線，即可證得OD∥AC，又由DE⊥AC，即可證得DE⊥OD，則可得DE是⊙O的切線．

解答：（1）解：設OE=5xm，CD=24xm，
∵OE⊥CD，
∴DE=

1

2

CD=12xm，
∵AB=26m，
∴OD=13m，
在Rt△ODE中，OD²=ED²+OE²，
即：13²=（5x）²+（12x）²，
解得：x=±1（負數舍去），
∴CD=24x=24（m）；

（2）證明：連接OD，
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵⊙O過BC的中點D，
∴DE是⊙O的切線．

點評：此題考查了垂徑定理、切線的判定、三角形中位線的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．