Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點C和D，在直線CD上有一點P．

（1）如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數量關系？請說明理由．
（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？

Answer 1

∠APB＝∠PAC+∠PBD；∠APB＝∠PAC+∠PBD

試題分析：（1）若P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD.
理由是：過點P作PE∥l₁，則∠APE＝∠PAC，
又因為l₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.

（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），則有兩種情形：
①如圖1，有結論：∠APB＝∠PBD－∠PAC.

理由是：過點P作PE∥l₁，則∠APE＝∠PAC，
又因為l₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.　　　　　　   4分
②如圖2，有結論：∠APB＝∠PAC－∠PBD.

理由是：過點P作PE∥l₂，則∠BPE＝∠PBD，
又因為l₁∥l₂，所以PE∥l₁，所以∠APE＝∠PAC，
所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.　　
點評：本題屬于對角度變換的基本知識的理解和運用