Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠A所對弧的度數為120度．∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F．以下四個結論：①cos∠BFE=

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2

；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結論一定正確的序號數是______．

Answer 1

∵∠A所對弧的度數為120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=

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（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=

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，
∴即cos∠BFE=

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；故①正確；
∵∠BDC=∠A+

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∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，則應有∠BDC=∠BCA
應有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據題意，沒有條件可以說明∠ABC是40°，
故②錯誤；
∵點F是△ABC內心，作FW⊥AC，FS⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點F是內心而不是各邊中線的交點，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結論為①③．
故答案為：①③．