Question

（本小題滿分12分）

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A 順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止。不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）。

1.（1）問：始終與△AGC相似的三角形有        及        ；

2.（2）設CG＝x，BH＝y，求y關于x的函數關系式（只要求根據2的情況說明理由）；

3.（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）△HGA及△HAB；（2分）

2.（2）由（1）可知△AGC∽△HAB，∴，

即，所以 （5分）

3.（3）①當CG＜BC時，∠GAC=∠H＜∠HAC，

∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH，

又AH＞AG，AH＞GH，此時，△AGH不可能是等腰三角形；

②當CG=BC時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形；

此時，GC=，即x=；

③當CG＞BC時，由（1）可知△AGC∽△HGA，

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH；

若AG=AH，則AC=CG，此時x=9；（11分）

綜上，當x=9或時，△AGH是等腰三角形。（12分）

【解析】略