Question

如圖a，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線函數式為y=

3

4

x，AD=8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一個單位長度運動，同時點P從點A出發做勻速運動，沿矩形ABCD的邊經B到達終點C，用了14秒．
（1）求矩形ABCD周長；
（2）如圖b，當P到達B時，求點P坐標；
（3）當點P在運動時，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，
①如圖c，當P在BC上運動時，矩形PEOF的邊能否與矩形ABCD的邊對應成比例？若能，求出時間t的值，若不能，說明理由；
②如圖d，當P在AB上運動時，矩形PEOF的面積能否等于256？若能，求出時間t的值，若不能，說明理由；

Answer 1

分析：（1）根據題意，AD=8，B點在y=

3

4

x上，把x=8代入函數解析式求出y=6，則B點坐標為（8，6），所以AB=6，可求得矩形的周長為28；
（2）P點到達點B時，共運動6秒，可得OD的長度是6，然后求出點D的坐標，橫坐標加上AD的長度8，縱坐標加上AB的長度6，即可得到點B的坐標，也就是點P的坐標；
（3）①當點P在BC邊運動時，即6≤t≤14，分別表示出點D的坐標，點P的坐標為，然后根據相似多邊形的對應邊成比例列出比例式求解，如果t在取值范圍內，則能，否則不能；
②當P在AB上運動時，即0≤t≤6，求出點P的坐標，然后根據矩形的面積公式列式求解求出t的值，如果t在取值范圍內，則能，否則不能．

解答：解：（1）∵AD=8，B點在y=

3

4

x上，
∴y=

3

4

×8=6，
B點坐標為（8，6），
AB=6，
∴矩形的周長=2（AD+AB）=2（8+6）=28；

（2）當P到達B時，∵AB=6，
∴共運動6秒，
∴OD=6，
設點D的橫坐標是a，
則縱坐標是

3

4

a，
∴a²+（

3

4

a）²=6²，
解得a=

24

5

，
∴

3

4

×

24

5

=

18

5

，

24

5

+8=

64

5

，

18

5

+6=

48

5

，
∴點P的坐標是P（

64

5

，

48

5

）；

（3）①當P在BC上運動時，即6≤t≤14，
點D的坐標是（

4

5

t，

3

5

t），
14-t+

4

5

t=14-

t

5

，
∴點P的坐標是（14-

1

5

t，

3

5

t+6），
假設矩形PEOF的邊能與矩形ABCD的邊對應成比例，
則若

PE

OE

=

BA

DA

，則

3 5 t+6

14- t 5

=

6

8

，解得t=6，
當t=6時，點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是位似形．
若

PE

OE

=

DA

BA

，則

3 5 t+6

14- 1 5 t

=

8

6

，
解得t=

190

13

，
因為

190

13

＞14，此時點P不在BC邊上，舍去．
綜上，當t=6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是相似圖形，對應邊成比例；

②當P在AB上運動時，即0≤t≤6，
點D的坐標是（

4

5

t，

3

5

t），

3

5

t+t=

8

5

t，
∴點P的坐標為（8+

4

5

t，

8

5

t）．
∴矩形PEOF的面積=（8+

4

5

t）（

8

5

t）=256，
整理得：t²+10t-200=0，
解得t₁=10，t₂=-20，
t₁=10，t₂=-20都不合題意，故不能．
故答案為：（1）矩形ABCD的周長為28；（2）P（

64

5

，

48

5

）；（3）①t=6；②故不能．

點評：本題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用，解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．