Question

如圖，正方形ABCD中，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE，連接BG并延長交DE于H．
（1）求證：∠BGC=∠DEC．
（2）若正方形ABCD的邊長為1，試問當點G運動到什么位置時，BH垂直平分DE？

Answer 1

分析：（1）根據正方形的邊的性質和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質得到∠BGC=∠DEC；
（2）連接BD，解題關鍵是利用垂直平分線的性質得出BD=BE，從而找到BD=

2

，CE=BE-BC=

2

-1，根據全等三角形的性質求解即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC
∴△BCG≌△DCE（3分）
∴∠BGC=∠DEC（4分）

（2）連接BD
如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）
∵BC=CD=1，
∴BD=

2

（8分）
∴CE=BE-BC=

2

-1（9分）
∴CG=CE=

2

-1
即當CG=

2

-1時，BH垂直平分DE．（10分）

點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．特殊圖形的特殊性質要熟練掌握．