Question

在等腰△ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，求這個等腰三角形的底邊長．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，設等腰三角形的腰長為a，底邊為b，根據中點定義得到AD與DC相等都等于腰長a的一半，AC邊上的中線BD將這個三角形的周長分為AB+AD和BC+CD兩部分，分別表示出兩部分，然后分AB+AD=15，BC+CD=12或AB+AD=12，BC+CD=15兩種情況分別列出方程組，分別求出方程組的解即可得到a與b的兩對值，根據三角形的兩邊之和大于第三邊判定能否構成三角形，即可得到滿足題意的等腰三角形的底邊長．

解答：解：依題意可得：這一邊上的中線為腰上的中線，（1分）畫出圖形如下：
設這個等腰三角形的腰長為a，底邊長為b，
∵D為AC的中點，∴AD=DC=

1

2

AC=

1

2

a，
根據題意得：

3 2 a=15 1 2 a+b=12

或

3 2 a=12 1 2 a+b=15

，
解得：

a=10 b=7

或

a=8 b=11

．
又∵三邊長10、10、7和8、8、11均可以構成三角形，
∴底邊長為7或11．（7分）
答：這個等腰三角形底邊長為7或11．

點評：此題考查了等腰三角形的性質，中點定義，以及三邊構成三角形的條件．對于題中中線分三角形的周長為兩部分，在沒有指明兩部分對應的長度時，應利用分類討論的思想來求解，另外求出a與b后，不要忽略用三角形的兩邊之和大于第三邊來判定能否構成三角形．