Question

【題目】如圖，在中，，，、分別在、上，連接、交于點(diǎn)，且．

（1）如圖1，求證：．

（2）如圖2，是的中點(diǎn)，試探討與的位置關(guān)系．

（3）如圖3，、分別是、的中點(diǎn)，若，，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE⊥CF，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）直接判斷出△ACE≌△BCD即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠BCF=∠CBF，進(jìn)而得出∠BCF=∠CAE，即可得出結(jié)論；
（3）先求出BD=3，進(jìn)而求出CF=，同理：EG=，再利用等面積法求出ME，進(jìn)而求出GM，最后用面積公式即可得出結(jié)論．

解：（1）在△ACE和△BCD中，

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如圖2，記AE與CF的交點(diǎn)為M，

在Rt△BCD中，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
（3）如圖3，記AE與CF的交點(diǎn)為M，
∵AC=2 ，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得，BD==3，
∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，
∴CF=DF= ，

同理：EG=，
連接EF，過點(diǎn)F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴FH=，
∴S△CEF=CEFH=×1×=，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF=CFME=×ME=ME，
∴ME=，
∴ME=，
∴GM=EG-ME=，
∴S△CFG=CFGM=××．