Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求a的值，并寫(xiě)出拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，

①當(dāng)點(diǎn)M（2，n）時(shí)，求n，并求△ABM的面積.

②當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）a=﹣1，y=﹣x2+2x+3；

（2）①n=3，S△ABM=3；

②S =﹣（m﹣）2+，M′的坐標(biāo)為（， ）， S取得最大值．

【解析】試題分析：（1）令一次函數(shù)x=0，得出B的坐標(biāo)，將B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可解出a；（2）①令一次函數(shù)y=0，得出A 的坐標(biāo)，令二次函數(shù)x=2，可得n及M的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、M的坐標(biāo)可求出△ABM的面積；②要表示出△ABM的面積可用割補(bǔ)法，S是關(guān)于m的二次函數(shù)，要求最值，將二次函數(shù)解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式即可.

試題解析：

解：（1）把x=0代入y=－3x+3得y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2－2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=－1，

∴y=－x2+2x+3；

（2） 令y=0得：0=－x2+2x+3，

∴x=－1或3，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－1和3，

∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=－3x+3，

∴x=1，

∴A的坐標(biāo)為（1，0），

當(dāng)x=2時(shí)，代入y=－x2+2x+3=3，則M（2，3）即n=3，

此時(shí)MB//x軸，MB=2， S△ABM=2×3×=3；

（3）

如圖，連接OM,

令x=m，y=－m2+2m+3，

∴M的坐標(biāo)為（m，－m2+2m+3），

S=S四邊形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

=×m×3+×1×（－m2+2m+3）－×1×3

=－m2+m，

∵S =－（m－）2+ ，

∴當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．

當(dāng)m=時(shí)，y=－（）2+2×+3=，

∴M′的坐標(biāo)為（， ）.