Question

【題目】對于二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線L．現有點A（2，0）和拋物線L上的點B（﹣1，n），請完成下列任務：

【嘗試】

（1）當t=2時，拋物線y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的頂點坐標為　 　；

（2）判斷點A是否在拋物線L上；

（3）求n的值；

【發現】

通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線L總過定點，坐標為　 　．

【應用】

二次函數y=﹣3x2+5x+2是二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】【嘗試】（1）（1，﹣2）．（2）點A（2，0）在拋物線l上．（3）6．【發現】拋物線l必過定點（2，0）、（﹣1，6）．【應用1】見解析

【解析】試題分析：

1、【嘗試】（1）將t=2代入拋物線L中，化簡，再配方，即可得到拋物線L的頂點坐標；

（2）將點A的橫坐標x=2代入拋物線L的解析式中進行計算看y是否等于0，即可判斷出點A是否在拋物線L上；

（3）將點B的橫坐標x=-1代入拋物線L的解析式中計算出對應的y的值即可得到n的值；

2、【發現】將拋物線L的解析式展開可得： y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4，由此可得：當x=2時，y=0；當x=-1時，y=6；這就說明拋物線L總過定點A（2，0）和B（-1，6）；

3、【應用】由【發現】可知，二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4的“再生二次函數”必過點（2，0）和點（-1，6），因此檢驗這兩個點是否都在二次函數y=﹣3x2+5x+2的圖象上即可作出判斷.

試題解析：

1、【嘗試】

（1）∵將t=2代入拋物線l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，﹣2）．

（2）∵將x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴點A（2，0）在拋物線l上．

（3）將x=﹣1代入拋物線l的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．

2、【發現】

∵將拋物線E的解析式展開，得：

y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

∴拋物線l必過定點A（2，0）、B（﹣1，6）．

3、【應用】

將x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．

將x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，計算得：y=﹣6≠6，即拋物線y=﹣3x2+5x+2不經過點B，

∴二次函數y=﹣3x2+5x+2不是二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4的一個“再生二次函數”．