Question

【題目】如圖,線段AB＝9，射線BG⊥AB,P為射線BG上一點,以AP為邊作正方形APCD,且C、D與點B在AP兩側,在線段DP取一點E,使∠EAP＝∠BAP,直線CE與線段AB相交于點F(點F與點A、B不重合).

(1)求證：△AEP≌△CEP；

(2)判斷CF與AB的位置關系,并說明理由；

(3)求△AEF的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CF⊥AB，理由詳見解析；（3）18.

【解析】

（1）四邊形APCD正方形，則DP平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；

（2）△AEP≌△CEP，則∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，則∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，則∠AMF+∠PAB=90°即可求解；

（3）證明△PCN≌△APB（AAS），則 CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．

（1）證明：∵四邊形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC=PA，

∴∠APD=∠CPD=45°，

∴△AEP≌△CEP（SAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，

∴∠EAP=∠ECP，

∵∠EAP=∠BAP，

∴∠BAP=∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB=90°，

∴∠AFM=90°，

∴CF⊥AB；

（3）過點 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，

∴FC∥BN，

∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，

又AP=CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），

∴CN=PB=BF，PN=AB，

∵△AEP≌△CEP，

∴AE=CE，

∴AE+EF+AF

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

=18．