Question

如圖，是的直徑，弦，是弦的中點，．若動點以的速度從點出發沿著方向運動，設運動時間為，連結，當值為　　   　　　時，是直角三角形．

Answer 1

1或1.75或2.25s

若△BEF是直角三角形，則有兩種情況：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知了BC邊和∠B的度數，即可求得BE的長；AB的長易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點運動的距離（有兩種情況），根據時間=路程÷速度即可求得t的值．
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；
∴AB=2BC=4cm；
①當∠BFE=90°時；
∵Rt△BEF中，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4cm，
∵F是弦BC的中點，
∴當△BEF是直角三角形時點E與點O重合，
∴BE=2BF=2cm；
故此時AE=AB-BE=2cm；
∴E點運動的距離為：2cm或6cm，故t=1s或3s；
由于0≤t＜3，故t=3s不合題意，舍去；
所以當∠BFE=90°時，t=1s；
②當∠BEF=90°時；
同①可求得BE=BF=0.5cm，此時BE=AB-AE=3.5cm；
∴E點運動的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；
綜上所述，當t的值為1、1.75或2.25s時，△BEF是直角三角形．
此題主要考查了圓周角定理以及直角三角形的判定和性質，同時還考查了分類討論的數學思想．