Question

在⊙O中，弦AB將圓分成了1：4兩部分，點D是⊙O上一點（不與A、B重合），過點D作DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C，則∠C=___________。

Answer 1

108°

根據切線的判定定理得出AB與⊙D相切于E點，進而得出⊙D是△ABC的內切圓，根據弦AB將圓分成了1：4兩部分，得出∠AOB=72°，以及∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，進而得出∠ACB的度數．
解：連接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于點E，點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，
∴AB與⊙D相切于E點，又∵過點A、B作⊙D的切線，
∴⊙D是△ABC的內切圓，
∵弦AB將圓分成了1：4兩部分，
∴∠AOB=72°，可得：∠MOB=36°，
∴∠ADB=144°，
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB=180°，
∴∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，
∴∠CAB+∠CBA=72°，
∴∠ACB的度數為：180°-72°=108°，
故答案為：108°．
此題主要考查了三角形內切圓性質與圓周角定理和垂徑定理等知識，題目綜合性較強，得出∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，是解決問題的關鍵．