Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），E是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，始終保持∠ADE=∠B，則當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】4或
【解析】解：分兩種情況：

①當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖1，

∴∠AED=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠DAC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∴AD⊥BC，

∴BD= BC= ×8=4；

②當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖2，

過A作AF⊥BC于F，則BF=4，

∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，

∠ADE=∠B，

∴∠EDC=∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠BFA=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BFA∽△BAD，

∴ ，

∵AB=5，

∴ ，

∴BD= ，

綜上所述，BD為4或 ，

所以答案是：4或 ．

【考點(diǎn)精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．