Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：已知方程x2＋x－1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．

解：設所求方程的根為y，則y＝2x，所以x＝.

把x＝代入已知方程，得＋－1＝0.

化簡，得y2＋2y－4＝0.

故所求方程為y2＋2y－4＝0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求：把所求方程化為一般形式)：

(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為_________；

(2)已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．

Answer 1

【答案】（1）y2-y-2=0；（2）cy2+by+a=0（c≠0）.

【解析】

（1）設所求方程的根為y，則y+x=0，所以x＝-y，把所以x＝-y代入原方程整理即可；

（2）設所求方程的根為y，則xy=1，所以x＝，把x＝代入原方程整理即可；

（1）設所求方程的根為y，則y+x=0，所以x＝-y，把所以x＝-y代入原方程，得

(-y)2＋(-y)－2＝0，

∴y2-y-2=0；

（2）設所求方程的根為y，則xy=1，所以x＝，把x＝代入原方程，得

a×()2＋b×＋c＝0，

∴cy2+by+a=0.

若c=0，則原方程變為ax2＋bx＝0，此時方程有一個根為0，不符合題意，

∴c≠0，

∴所求方程為：cy2+by+a=0（c≠0）.