Question

【題目】已知：點E為AB邊上的一個動點．
（1）如圖1，若△ABC是等邊三角形，以CE為邊在BC的同側作等邊△DEC，連結AD．試比較∠DAC與∠B的大小，并說明理由；

（2）如圖2，若△ABC中，AB=AC，以CE為底邊在BC的同側作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，連結AD．試判斷AD與BC的位置關系，并說明理由；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以CE為邊在BC的同側作正方形ECGF．
①試說明點G一定在AD的延長線上；
②當點E在AB邊上由點B運動至點A時，點F隨之運動，求點F的運動路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DAC=∠B

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等邊三角形

∴∠DCE=∠ACB=60°

∴∠BCE=∠ACD

在△BEC和△ADC中，

∴△BCE≌△ACD．

∴∠B=∠DAC

（2）解：AD∥BC

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC

∴

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠DCA=∠ECB．

∴△DCA∽△ECB．

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB．

∴AD∥BC

（3）解：①連結DG．

∵四邊形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°．

∴∠BCE=∠DCG．

∴△BCE≌△DCG．

∴∠B=∠CDG=90°．

∵∠ADC=90°．

∴∠ADC+∠CDG=180°

∴點G一定在AD的延長線上．

②作FH⊥AG于點H．

∵∠BCE+ECD=90°，∠ECD+DCG=90°，

∴∠BCE=∠GCD．

∵∠GCD+∠CGD=90°，∠CGD+∠FGH=90°

∴∠FGH=∠GCD．

∴∠BCE=∠FGH=∠GCD．

在△FHG和△GDC和△EBC中，

，

∴△FHG≌△GDC≌△EBC，

∴FH=BE=DG，HG=BC，

∴AH=AG﹣GH=AD+DG﹣GH=BC+DG﹣BC=DG=FH，

∴△AFH是等腰直角三角形，

∴∠FAG=45°．

∴點F的運動路徑長=AC= =2

【解析】（1）可觀察后猜想兩角相等，須證兩角所在的三角形全等，即△BCE≌△ACD，得出∠B=∠DAC；（2）類比（1）的方法，觀察圖形，可猜想△DEC∽△ABC，進而證出△DCA∽△ECB，得出∠DAC=∠EBC=∠ACB，AD∥BC；（3）先研究起始位置A，由△FHG≌△GDC≌△EBC，可得△AFH是等腰直角三角形，F的運動方向為沿與AD夾角為45度方向移動，終點為F，點F的運動路徑長=AC，利用勾股定理求出.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．