Question

【題目】（1）發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．當點A位于什么上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為多少（用含a，b的式子表示）

（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=4，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）當點A位于CB的延長線上時，最大值為BC+AB=a+b，（2）①CD=BE，理由見解析；②最大值為BD+BC=AB+BC=5；（3）最大值為2+4，P（2﹣，）．

【解析】

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；

（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；

（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA=2，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+4；過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質，即可得到結論．

（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

（2）①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE；

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=5；

（3）∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=4，

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=2，

∴最大值為2+4；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣，

∴P（2﹣，）．