Question

【題目】閱讀下列材料，并按要求解答．

（模型介紹）

如圖①，C是線段A、B上一點E、F在AB同側，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一個“K“，我們稱圖①為“K”型圖．

（性質探究）

性質1：如圖①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC

性質2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1．

（模型應用）

應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．

應用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF．交AH的反向延長線于點K，證明：K為EF中點．

（1）請你完成性質1的證明過程；

（2）請分別解答應用1，應用2提出的問題．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)應用1： BD＝4；應用2：證明見解析.

【解析】

（1）根據AAS即可證明；

（2）①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H．首先證明符合“k模型”，利用性質2根據相似三角形的性質即可解決問題；

②應用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再證明△FKN≌△EKN即可解決問題.

(1)如圖①中，

∵∠A＝∠ECF＝∠B＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠F＝90°，

∴∠ACE＝∠F，∵EC＝CF，

∴△ACE≌△BFC．

(2)①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H．

在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，

∴AC＝＝，

∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝52＝25，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝∠CHB＝90°，

∴符合“K”型圖，

∴△ACD∽△CBH，

∴，

∴，

∵CH＝2，BH＝4，

∴DH＝4，

在Rt△BDH中，BD＝＝4．

應用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N，

由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，

∴FM＝AH，AH＝EN，

∴FM＝EN，

∵∠FKM＝∠EKN，∠M＝∠ENK＝90°，

∴△FKN≌△EKN，

∴FK＝KE，

∴K為EF中點．