Question

閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2

ab

（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當a=b時，a+b有最小值2

p

．   
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

；
若m＞0，只有當m=

 

時，2m+

8

m

有最小值

 

．
（2）如圖，已知直線L₁：y=

1

2

x+1與x軸交于點A，過點A的另一直線L₂與雙曲線y=

-8

x

(x＞0)相交于點B（2，m），求直線L₂的解析式．
（3）在（2）的條件下，若點C為雙曲線上任意一點，作CD∥y軸交直線L₁于點D，試求當線段CD最短時，點A、B、C、D圍成的四邊形面積．

Answer 1

分析：（1）根據式子特殊性可以分別求出m的值以及分式的最值；
（2）首先求出直線L₁與x軸的交點坐標，再利用點B（2，m）在y=

-8

x

(x＞0)上，求出m的值，從而求出直線L₂的解析式；
（3）將四邊形分割為S_四ABCD=S_△ABE+S_四BEDC，分別求出即可．

解答：解：（1）∵m＞0，只有當m=1時，m+

1

m

有最小值是2；
若m＞0，只有當m=2時，2m+

8

m

有最小值 8．
故答案為：1，2；2，8；

（2）對于y=

1

2

x+1，令y=0，
得：x=-2，
∴A（-2，0）
又點B（2，m）在y=

-8

x

(x＞0)上，
∴m=-4，B（2，-4）
設直線L₂的解析式為：y=kx+b，
則有

-2k+b=0 2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-2

∴直線L₂的解析式為：y=-x-2；

（3）設C(n，

-8

n

)，則：D(n，

1

2

n+1)，
∴CD=(

1

2

n+1)-

-8

n

=

1

2

n+

8

n

+1≥2

1 2 n• 8 n

+1=5，
∴CD最短為5，
此時

1

2

n=

8

n

，n=4，C（4，-2），D（4，3）
過點B作BE∥y軸交AD于點E，則B（2，-4），E（2，2），BE=6，
∴_{S四邊形ABCD}=S_△ABE+S_{四邊形BEDC}=

1

2

×6×4+

1

2

(5+6)×2=12+11=23．

點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合應用，利用數形結合將已知正確的運用于兩種函數，以及將四邊形分割后求四邊形面積是這部分重點題型，同學們應正確的掌握．