Question

【題目】如圖，在直角坐標系中點A（2，0），點P在射線 （x＜0）上運動，設點P的橫坐標為a，以AP為直徑作⊙C，連接OP、PB，過點P作PQ⊥OP交⊙C于點Q．

（1）證明：∠AOP=∠BPQ；
（2）當點P在運動的過程中，線段PQ的長度是否發生變化，若變化，請用含a的代數式表示PQ的長；若不變，求出PQ的長；
（3）當tan∠APO= 時，①求點Q坐標；②點D是圓上任意一點，求QD+ OD的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得點P（a，－ a），∵AP為直徑，∴∠PBA=90°，∴tan∠BOP= ，∴∠BPO=30°，∠POB=60°，∵PQ⊥OP，∴∠BPQ=∠AOP=120°
（2）解：不變．如圖1，連結BQ，

∵∠Q=∠PAO，∠BPQ=∠AOP，

∴△BPQ∽△POA．

∴ ，

∴PQ=

（3）解：①如圖2，連結AQ，過點Q作QH⊥BP

∵AP是直徑，

∴∠PQA=90°．

∵∠OPQ=90°，

∴OP∥AQ．

∴∠OPA=∠PAQ，

∵tan∠OPA= ，

∴ ，

∵PQ= ，

∴AQ=5，AP=2 ，在RT△ABP中，AB=2－a，BP=－ a，由（2-a）2+（ a）2=（2 ）2，解得a1=－2，a2=3（舍去），

∴P（－2，2 ），∠BPQ=120°，

∴∠HPQ=60°，

∴PH= ，HQ= ，

∴點Q（- ， ）；

②如圖3，

由①得CD= ，

∵P（－2，2 ）,A（2，0），

∴C（0， ） ,OC= ，在y軸上找點E使CE= ，

∴E（0，- ），

∴CD2=CO·CE，

∵∠DCO=∠ECD，

∴△DCO∽△ECD，

∴DE= OD，

∵QD+DE≥QE，

∴QD+ OD的最小值為

【解析】（1）首先表示出P點的坐標，根據直徑所對的圓周角是直角得出∠PBA=90°，根據正切三角函數的定義及特殊銳角三角函數值得出∠POB=60°，根據三角形的內角和得出∠BPO=30°，再根據垂直的定義得出∠BPQ=∠AOP=120°；
（2）不變．如圖1，連結BQ，根據同弧所對的圓周角相等得出∠Q=∠PAO，又由（1）知∠BPQ=∠AOP，從而判斷出△BPQ∽△POA，根據相似三角形對應邊成比例得出答案；
（3）①如圖2，連結AQ，過點Q作QH⊥BP，根據直徑所對的圓周角是直角得出∠PQA=90°，然后根據同旁內角互補兩直線平行得出OP∥AQ，根據平行線的性質得出∠OPA=∠PAQ，然后根據正切三角函數的定義打得出=，從而得出AQ,AP的長，在Rt△ABP中,根據勾股定理得出關于a的方程，求出a的值，從而得出p點的坐標，進一步得出Q點的坐標；②如圖3，由①得CD= ，由P,A兩點的坐標得出C點的坐標及OC的長，在y軸上找點E使CE= ，進而得出E點坐標，從而得出CD2=CO·CE，然后判斷出△DCO∽△ECD，根據相似三角形的性質得出DE= OD，又因QD+DE≥QE，從而得出答案。
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的判定與性質(由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．