Question

已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BC；
（2）設△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當PQ∥BC時，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關于AP，AB，AQ，AC的比例關系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據P，Q的速度，可以用時間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數值代入比例關系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據Q的速度和時間t表示出來．關鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數關系式．
（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻．
（4）我們可通過構建相似三角形來求解．過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關于BP，PN，AB，AC的比例關系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=5，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，∴

2t

4

=

5-t

5

，
∴t=

10

7

．所以當t=

10

7

時，PQ∥BC．

（2）過點P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面積平分，則S_△APQ=

1

2

S_△ABC，即-

3

5

t2+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．

（4）過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴

PN

AC

=

BP

AB

，∴

PN

4

=

t

5

，
∴PN=

4t

5

，
∴QM=CM=

4t

5

，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，解得：t=

10

9

．
∴當t=

10

9

s時，四邊形PQP'C是菱形．
此時PM=3-

3

5

t=

7

3

cm，CM=

4

5

t=

8

9

cm，
在Rt△PMC中，PC=

PM2+CM2

=

49 9 + 64 81

=

505

9

cm，
∴菱形PQP′C邊長為

505

9

cm．

點評：本題圖形結合的動態題，是近幾年考試熱點，同時考查三角形相似知識，是一道很好的綜合題．本題亮點是巧妙結合圖形綜合考查不同知識點．