Question

27、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱

正方形

，

長方形

．
（2）如下圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，連接DE、DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）利用含有直角的四邊形找出特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形即可；
（2）利用勾股定理計算畫出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

解答：解：（1）填正方形，長方形；
（2）如圖，

（3）證明：∵△ABD為等邊三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
∵∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
又∵BE=BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
連接EC，則△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC²+CE²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．

點評：此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，是一道綜合性很強的題目．