Question

23、我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）除了正方形外，寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：

矩形、直角梯形

；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB，并寫出點M的坐標；
（3）如圖2，以△ABC的邊AB，AC為邊，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，連接CE，BG相交于O點，P是線段DE上任意一點．求證：四邊形OBPE是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）根據一些特殊四邊形的性質即可找出符合性質的；
（2）根據題中的要求和勾股定理的性質求出點M的坐標；
（3）連接BE，首先證明△AEC≌△ABG，則∠AEC=∠ABG，∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°，∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°，∴OB²+OE²=BE²，然后證明OB²+OE²=BE²即可．

解答：解：（1）矩形、直角梯形；（2分）

（2）如圖，M點的坐標是（3，4）或（4，3）；（2分）

（3）連接BE（如圖）
∵四邊形ABDE和ACFG是正方形
∴AE=AB、AC=AG、∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAC=∠BAG
∴△AEC≌△ABG
∴∠AEC=∠ABG（1分）
∵∠AEC+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠ABG+∠CEB+∠EBA=90°
∴∠BOE=90°（2分）
∴OB²+OE²=BE²
即四邊形OBPE是勾股四邊形．（1分）

點評：本題主要考查對于勾股定理的應用以及全等三角形的性質．