Question

【題目】正方形ABCD中，點E在邊CD上，點P在線段AE上，且到A、B、D三個頂點的距離分別為、2、6，則四邊形BCDP的面積為_____．

Answer 1

【答案】43．

【解析】

根據旋轉作輔助線，構建旋轉三角形，根據勾股定理的逆定理證明△BP'P是直角三角形，再得△DPG是等腰直角三角形，利用勾股定理計算AD的長，根據面積差可得四邊形BCDP的面積．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

將△APD繞點A順時針旋轉90°到△ABP'，連接PP'，過D作DG⊥AE于G，如圖所示：

由旋轉得：AP'＝AP＝，∠PAP'＝90°，P'B＝PD＝6，

∴∠AP'P＝45°，PP'＝AP＝2，

∵P'B2+P'P2＝62+22＝40，

PB2＝（2）2＝40，

∴P'B2+P'P2＝PB2，

∴∠PP'B＝90°，

∴∠AP'B＝∠APD＝90°+45°＝135°，

∴∠DPG＝45°，

∴△DPG是等腰直角三角形，

∵PD＝6，

∴PG＝DG＝PD＝3，

∴AG＝AP+PG＝+3＝4，

由勾股定理得：AD＝＝＝5，

∴四邊形BCDP的面積＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△APB＝（5）2﹣S△AP'P﹣S△BP'P＝50﹣××﹣×6×2＝43，

故答案為：43．